Riemann 积分的函数有界性证明

2025-04-07 10:32 +0800

Riemann 的定义要求函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 有界。这一前提并不是必要条件，没有这个条件，定义仍然是完整的。因为由 Riemann 积分的定义可以推导出 $f(x)$ 有界。

Riemann 积分的定义：

\[\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} = I \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall P \left(\lambda = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} (\Delta x_{i}) < \delta \right), \forall \xi_{i} \in [x_{i-1}, x_{i}] : \left| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} - I \right| < \varepsilon\]

函数 $f(x)$ 有界的定义：

\[\exists M > 0, \forall x \in [a, b] : \left|f(x)\right| < M\]

使用反证法证明，即假设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 无界，然后推导出与 $\displaystyle \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} = I$ 相矛盾的结论。在推导过程中，$\displaystyle \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} = I$ 可以作为前提条件。

分析结论

推导出与 $\displaystyle \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} = I$ 矛盾的结论，本质上是要在给定的 $\varepsilon - \delta$ 条件下，得出 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} - I \right\vert \geqslant \varepsilon$。

对 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} - I \right\vert$ 进行放缩

\[\left| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} - I \right| > \left| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right| - \vert I \vert \geqslant \varepsilon\]

要让 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} - I \right\vert \geqslant \varepsilon$ 成立，只需要让 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right\vert \geqslant \vert I \vert + \varepsilon$ 成立。

分析条件

函数无界也就是函数有界的否命题

\[\forall G > 0, \exists x \in [a, b] : \left|f(x)\right| \geqslant G\]

也就是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的存在任意大的函数值。

这一性质可以让 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right\vert$ 通过对 $\xi_{i}$ 进行适当取值，取得任意大的值，甚至大于 $\vert I \vert + \varepsilon$。

确定 $\xi_{i}$ 的值

$\displaystyle \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} = I$ 是前提条件。为方便分析，让 $\varepsilon, \delta, P, \lambda$ 按它成立的条件取定。由于 $\xi_{i}$ 可以任意取定，只要让它取得某个特定的值，再推导出 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right\vert \geqslant \vert I \vert + \varepsilon$ 的结论，就可以获得矛盾的结果。

首先让 $\xi_{i}$ 都取为对应小区间的端点值，即 $\xi_{i} = x_{i}$。这样就可以简化 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right\vert$ 为 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}) \Delta x_{i} \right\vert$。

由于 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的存在任意大的函数值，取一个非常大的函数值 $\vert f(x') \vert \geqslant G$。先不管 $G$ 的具体大小，稍后再确定它。

由于 $x' \in [a,b]$，所以它一定在划分之后的某个小区间上。即 $\exists k \in \lbrace 1,2,\dots,n \rbrace : x' \in [x_{k-1}, x_{k}]$。

修改之前取定的 $\xi_{k}$，让其取为 $x'$。这样就得到一个非常大的 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right\vert$。再对它进行放缩

\[\begin{align*} & \left| \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right| \\ = & \left| \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{n} f(x_{i}) \Delta x_{i} + f(x') \Delta x_{k} \right| \\ \geqslant & \left| f(x') \Delta x_{k} \right| - \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{n} \left| f(x_{i}) \Delta x_{i} \right| \\ \geqslant & \left| f(x') \Delta x_{k} \right| - \sum_{i=1}^{n} \left| f(x_{i}) \Delta x_{i} \right| \\ \geqslant & \left| f(x') \Delta x_{k} \right| - \lambda \sum_{i=1}^{n} \left| f(x_{i}) \right| \\ \geqslant & \left| f(x') \right|\gamma - \lambda \sum_{i=1}^{n} \left| f(x_{i}) \right| \quad (令 \gamma = \min_{1 \leqslant i \leqslant n} (\Delta x_{i})) \\ \geqslant & G \gamma - \lambda \sum_{i=1}^{n} \left| f(x_{i}) \right| \\ \geqslant & |I| + \varepsilon \\ \end{align*} \\\]

要让 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} \right\vert \geqslant \vert I \vert + \varepsilon$ 成立，只需要让 $\displaystyle G \gamma - \lambda \sum_{i=1}^{n} \left\vert f(x_{i}) \right\vert \geqslant \vert I \vert + \varepsilon$ 成立。要让其成立，只需取 $\displaystyle G = \frac{1}{\gamma} \left( \lambda \sum_{i=1}^{n} \left\vert f(x_{i}) \right\vert + \vert I \vert + \varepsilon \right)$。

注意在这个放缩过程中，要让 $\displaystyle \sum_{\substack{i=1 \\ i \neq k}}^{n} \left\vert f(x_{i}) \Delta x_{i} \right\vert$ 放缩为 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \left\vert f(x_{i}) \Delta x_{i} \right\vert$，这样得到的 $G$ 不会依赖于 $k$。否则由于 $k$ 也依赖于 $G$，会出现循环依赖。

经过以上分析，可以推导出 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} - I \right\vert \geqslant \varepsilon$，这与 $\displaystyle \left\vert \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} - I \right\vert < \varepsilon$ 矛盾，即与 $\displaystyle \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \Delta x_{i} = I$ 矛盾。

所以假设不成立，原命题成立，即：函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 是有界的。

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